해석학 NEW 커리큘럼

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제 1 장 실수계(1강 - 9강)

  1. 완비성 공리 - 유계, 상한, 하한
  2. 완비성 공리(Completeness axiom)
  3. 완비성 공리의 동치명제
  4. 아르키메데스 성질(Archimedes 정리)
  5. 수학적 귀납법
  6. 유리수의 조밀성
  7. 데데킨트 정리(Dedekind 정리), 데데킨트 절단(Dedekind cut)
  8. 무리수의 조밀성, √2의 존재성
  9. 순서공리(axiom of order)
  10. 삼각부등식(triangle inequality)
  11. 체의 공리(field axioms)
  12. 대등(equivalent), 유한집합, 무한집합
  13. 가산집합(countable set)
  14. 비가산집합(uncountable set)
  15. ε-근방

제 2 장 실직선 상의 위상(10강 - 12강)

  1. 열린집합(open set)과 닫힌집합(closed set)
  2. 집적점(accumulation point)
  3. 폐포(closure)
  4. 고립점(isolated point)
  5. 내점(=안점, interior point)
  6. 열린집합의 동치조건
  7. 닫힌집합의 동치조건
  8. 집적점의 동치조건
  9. 폐포의 원소의 동치조건
  10. 폐포의 성질

제 3 장 수열(13강 - 26강)

  1. 수열의 수렴의 엄밀한 정의
  2. 수열의 f(x)의 유계
  3. 극한정리
  4. 꼬임 정리
  5. 부분수열(subsequence)
  6. 수열 f(n)이 x에 수렴하기 위한 동치조건
  7. 단조수렴정리(monotone convergence theorem)
  8. 구간축소정리(nested intervals theorem)
  9. 볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weierstrass 정리)
  10. 코시수열(Cauchy sequence)
  11. 코시수렴판정법
  12. 축약수열(contractive sequence)
  13. 수열의 발산
  14. 상극한(limit superior)
  15. 하극한(limit inferior)

제 4 장 함수열(27강 - 31강)

  1. 점별수렴(pointwise convergence)
  2. 평등수렴(uniform convergence)
  3. ∫의 Q를 만족 못하는 성질 판단(평등수렴일 필요충분조건)
  4. 극한함수의 연속성을 이용한 평등수렴성 판단
  5. 평등수렴성에 대한 코시판정법
  6. 부분함수열을 이용한 평등수렴성 판단

제 5 장 함수의 극한과 연속(32강 - 51강)

  1. 집적점의 정의
  2. 함수의 극한의 수렴의 정의
  3. 극한의 유일성
  4. 함수의 극한 판정법
  5. 함수의 극한의 기본정리
  6. 꼬임 정리
  7. 우극한, 좌극한의 정의
  8. 함수의 극한이 존재하기 위한 필요충분조건
  9. x가 a로 가기 전 때 f(x)의 극한이 무한대(∞)일 때의 수학적 정의
  10. x가 ∞로 갈 때 f(x)의 극한이 L(수렴)일 때의 수학적 정의
  11. x가 ∞로 갈 때 f(x)의 극한이 무한대(∞)일 때의 수학적 정의
  12. 연속함수의 정의
  13. 고립점에서 함수 f는 연속 증명
  14. f가 a에서 연속일 필요충분조건(a로 수렴하는 임의의 수열 xn 이용)
  15. 불연속 판정법
  16. 연속함수의 성질
  17. 피복(covering), 개피복(open covering)의 정의
  18. compact 집합의 정의
  19. 하이네-보렐 정리
  20. compact 집합 관련 정리들에 관한 증명
  21. compact 집합에서 연속인 함수 f에 대하여
  22. 최댓값, 최솟값 정리
  23. 중간값 정리(intermediate value theorem)
  24. 고정점 정리(fixed point theorem)
  25. f가 폐구간 [a,b]에서 연속이고 단사함수일 때 f는 증가함수(또는 감소함수)가 된다 증명
  26. 연속역정리
  27. f가 폐구간 [a,b]에서 연속이고 단사함수일 때 f^-1는 증가함수(또는 감소함수)이고 연속이다 증명
  28. 평등연속(uniformly continuous)-균등연속-곡선연속 정의
  29. 평등연속의 부정
  30. 평등연속이 아닐 필요충분조건
  31. 평등연속의 조건
  32. 립시츠 함수(Lipschitz function)
  33. 평등연속에 의한 코시성 보존
  34. 우극한, 좌극한 정의
  35. 편측 연속(one-sided continuity)
  36. 우연속함수(또는 좌연속함수)의 필요충분조건
  37. 계단함수, 제2 종 불연속점
  38. 단조함수(mono-tone function), 순단조함수 정의

제 6 장 미분(52강 - 59강)

  1. 미분계수의 정의
  2. 좌미분계수, 우미분계수의 정의
  3. 도함수의 정의
  4. 연쇄법칙(chain rule)
  5. 역함수의 미분계수
  6. 극댓값, 극솟값
  7. 페르마 정리(내점 극값의 정리)
  8. Rolle의 정리
  9. 평균값 정리(mean value theorem)
  10. Cauchy의 평균값 정리
  11. Darboux 정리
  12. 로피탈 정리
  13. 테일러 정리
  14. 테일러 급수의 수렴조건

제 7 장 리만적분(60강 - 82강)

  1. 리만상합(upper Riemann sum), 리만의 하합(lower Riemann sum), 세분할
  2. 상적분(upper integral)과 하적분(lower integral)
  3. 리만적분가능(Riemann integrable)
  4. 리만적분가능 필요충분조건
  5. 리만합(Riemann sum)
  6. 리만합의 극한
  7. 유계인 함수 f가 [a,b]에서 리만적분가능할 필요충분조건
  8. 리만적분가능한 함수의 성질
  9. f+g의 적분가능성
  10. 미적분학 기본정리 I
  11. 미적분학 기본정리 II
  12. 적분에 대한 평균값 정리(일반화)
  13. 치환적분법 증명
  14. 부분적분법 증명
  15. 측도(measure) 0인 집합과 불연속 함수의 리만적분
  16. 이상적분(특이적분, improper integral)
  17. 이상적분의 성질
  18. 이상적분의 비교판정법
  19. 절대적분가능
  20. 감마함수 Γ(x)
  21. 함수의 변동(variation), 유계변동, 전변동
  22. 유계변동 함수의 성질
  23. 함수 f가 [a,b]에서 유계변동일 필요충분조건
  24. 리만-스틸체스 상합, 하합과 리만-스틸체스 성질, 하적분
  25. 리만-스틸체스 적분가능
  26. 함수 f가 리만-스틸체스 적분가능일 필요충분조건
  27. 리만-스틸체스 적분가능한 함수 f의 성질
  28. 리만-스틸체스 합의 극한과 리만-스틸체스 적분가능 필요충분조건
  29. 리만-스틸체스 적분-일반적분으로 고치기
  30. f로 평등수렴하는 함수열 fn의 리만적분
  31. f로 평등수렴하는 함수열 fn의 리만-스틸체스 적분
  32. 유계변동함수에 대한 리만-스틸체스 적분

제 8 장 급수(83강 - 92강)

  1. 급수의 수렴, 발산
  2. 코시 판정법(Cauchy criterion)
  3. p-급수 판정법
  4. 절대수렴 판정법
  5. 항등급수가 수렴할 필요충분조건
  6. 코시응집판정법(Cauchy condensation test)
  7. 비교판정법(comparison test)
  8. 극한비교 판정법(Limit comparison test)
  9. 적분 판정법(integral test)
  10. 근판정법(root test)
  11. 비판정법(ratio test)
  12. 역급수(거듭제곱급수)의 수렴구간
  13. 교대급수 판정법(alternating series test)
  14. 디리클레 판정법(Dirichlet's test)
  15. 아벨 판정법(Abel's test)
  16. 함수항급수의 수렴
  17. 함수항급수에 대한 Cauchy 판정법
  18. 바이어슈트라스 M-판정법(Weierstrass M-test)
  19. 극한함수 f의 연속조건
  20. 함수항급수의 평등수렴 함수 f에 대한 리만적분
  21. [a,b]에서 함수열 fn이 f로 평등수렴하고 f'n이 g로 평등수렴할 조건
  22. [a,b]에서 함수항급수 ∑fn이 f로 수렴할 추가일 때 으로 평등수렴할 조건